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Forschung/
SFB 647  

Seminar:
Algebraische
Geometrie

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Termine:

Abstracts

Ivo Radloff (Bayreuth, Berlin)
Montag, 21.05.07 (16 Uhr)
"Klassifikation und Uniformisierung komplexer Mannigfaltigkeiten"
Abstract:
Der bekannte Uniformisierungssatz gibt die Liste der moeglichen universellen Ueberlagerungen einer kompakten Riemannschen Flaeche: P_1(C), C oder die Einheitskreisscheibe in C. In hoeheren Dimensionen gibt es keine solche endliche Liste mehr. Die Frage, welche kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten aehnlich "uniformisiert" werden koennen haengt zusammen mit dem Klassifikationsproblem von Mannigfaltigkeiten mit spezieller Geometrie.

Manfred Lehn (Mainz)
Montag, 04.06.07 (Ausnahmsweise um 14 Uhr!)
"Singuläre symplektische Modulräume"
Abstract:
Eine irreduzible holomorph symplektische Mannigfaltigkeit ist eine kompakte einfach zusammenhängende Kählermannigfaltigkeit, die bis auf einen Normierungsfaktor genau eine nirgends ausgeartete globale holomorphe 2-Form besitzt. Solche Mannigfaltigkeiten treten in natürlicherweise auf, wenn man Ricci-flache Kählermannigfaltigkeiten in irreduzible Bausteine zerlegt. K3-Flächen sind Beispiele kleinster Dimension, alle bekannten höherdimensionalen Beispiele sind deformationsäquivalent zu gewissen glatten Modulräumen von Garben auf K3-Flächen oder komplexen zweidimensionalen Tori oder zu Desingularisierungen von gewissen, sehr speziell gewählten singulären Modulräumen. Der Vortrag will erklären, warum allgemeinere Klassen singulärer Modulräume keine symplektischen Desingularisierungen zulassen. Die Frage der Klassifikation von irreduziblen holomorph symplektischen Mannigfaltigkeiten bleibt offen.

Hendrik Suess (HU-Berlin)
Montag, 11.06.07 (16 Uhr, Arnimallee 3, Rm 119)
"Modular strata of almost quasihomogeneous hypersurface singularities."
Abstract:
We find and describe unexpected isomorphisms between two very different objects associated to hypersurface singularities. One object is the Milnor algebra of a function, while the other object associated to a singularity is the local ring of the flatness stratum of the singular locus in a miniversal deformation, an invariant of the contact class of a defining function. Such isomorphisms exist for unimodal hypersurface singularities. However, for the moment it is badly understood, which principle causes these isomorphisms and how far this observation generalises.

Lutz Hille (Hamburg)
Montag, 25.06.07 (16 Uhr, Arnimallee 3, Rm 119)
"Tilting modules, fans and group actions with a dense orbits"
Abstract:
To any finite dimensional algebra A of finite global dimension we associate a fan in the Grothendieck group of the category of finite dimensional A-modules. We prove several properties of this fan, in particular it is smooth and purely t-dimensional, where t is the rank of the Grothendieck group. Moreover, the cones of maximal dimension correspond to tilting modules of projective dimension at most one. As a first application we consider certain actions of algebraic groups related to the category of A-modules. Then it turns out that tilting modules correspond to actions with a dense orbit. Thus the fan classifies for those actions all instances admitting a dense orbit, and, in addition, defines representatives of the dense orbit. In a second application we consider actions of parabolic subgroups in a general linear group on ideals in the Lie algebra of the unipotent radical. It is convenient to fix the shape of the ideal and the number t of blocks of the parabolic group. Then we consider all those parabolic groups P(d) (where d = (d_1,...,d_t) denotes the block size) acting on the corresponding ideal n(d) for all possible dimension vectors d simultaneously. We define the set D(t) to be the set of all d, so that P(d) acts with a dense orbit on n(d). Then the set D(t) is the set of lattice points in a fan.

Christian Sevenheck (Mannheim)
Montag, 02.07.07 (16 Uhr, Arnimallee 3, Rm 119)
Klassifizierende Raeume fuer Brieskorn-Gitter, Kruemmung und Kompaktifizierung
Abstract:
Das Brieskorn-Gitter ist eine klassische Invariante einer isolierten Hyperflächensingularität, welche sehr feine analytische Informationen über die Singularität liefert. Es ist auch ein wesentlicher Bestandteil der Konstruktion einer Frobenius-Struktur auf der semi-universellen Entfaltung der Singularität. Die Theorie der Twistorstrukturen liefert einen neuen Ansatz zum Verstaendnis der Struktur des Brieskorn-Gitters. Insbesondere kann man die Frobeniusstruktur auf dem Tangentialbuendel der Entfaltung um eine hermitesche Metrik ergänzen. In diesem Vortrag soll die Konstruktion einer Variation von Twistoren fuer eine Familie von Singularitaeten erklaert werden, sowie einige neue Ergebnisse ueber die Differentialgeometrie von klassifizierenden Raeumen von Brieskorn-Gittern. Die wichtigsten Hilfsmittel sind Resultate von Simpson und Mochizuki ueber das Entartungsverhalten von Variationen von Twistorstrukturen.

Cinzia Casagrande (Pisa, Italy)
Montag, 09.07.07 (16 Uhr, Arnimallee 3, Rm 119)
Fano varieties with large Picard number
Abstract:
Let X be a smooth complex Fano variety of dimension n. Then X is simply connected and after boundedness, we know that X has only a finite number of possible topological types. However little is known on its topological invariants in arbitrary dimension. We consider in particular the second Betti number of X, which coincides with the Picard number r. It is expected that r has linear bound in the dimension n. We will explain how Mori theory can be used to study this kind of questions, and give some results in this direction on Fano varieties having an extremal contraction of fiber type.

Herbert Kurke (HU-Berlin)
Montag, 16.07.07 (17 Uhr!!, Arnimallee 3, Rm 119)
"Geometric Langlands für Dummies"
Abstract:
The GLC is the following: One expects an equivalence between compactly supported derived categories (of bounded complexes) of coherent sheaves on ${\rm Loc}(X,G)$ and of coherent ${\cal D}$ -modules on ${\rm Bun}(X,G')$ . Moreover, this correspondence should associate to points [E] of ${\rm Loc}(X,G)$ (identified with the 1-dimensional skyscraper-sheaf supported in [E]) so-called ''automorphic ${\cal D}$ -modules'' = "Hecke-Eigensheaves to E". We will explain this notion in some detail, and results obtained in this direction.