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Seminar: Algebraische Geometrie

Seminartermine:

18.04.2006	Milena Hering(FU)
24.04.2006	SFB
02.05.2006	Priska Jahnke (Bayreuth)
09.05.2006	Janko Boehm (Saarbruecken)
16.05.2006	SFB
23.05.2006	Gavin Brown
30.05.2006	Arend Bayer (Bonn)
06.06.2006	SFB
13.06.2006	Lorenz Wotzlaw
20.06.2006	Jan Christophersen (Oslo)
27.06.2006	SFB
04.07.2006	Kordian Lärz
21.07.2006	Afsaneh Mehran (University of Michigan)
21.07.2006	Jan Christophersen (University of Oslo)

Abstracts:

Milena Hering (FU Berlin)
Syzygies of toric varieties
Dienstag, 18.4.06 (14-16 Uhr, Arnimallee 3, SR 210)
It is a fundamental problem in algebraic geometry to understand the equations and syzygies of a variety in projective space. We say that a very ample line bundle satisfies $N_p$ (for $p > 1$) if the induced embedding is projectively normal, the equations defining the image of the embedding in projective space are quadratic and the first $(p-1)$ syzygy modules are generated by linear syzygies. I will give an introduction to property $N_p$ and present necessary criteria for line bundles on toric varieties to satisfy $N_p$.

Priska Jahnke (Bayreuth)
Fano-Dreifaltigkeiten vom Pseudoindex > 1
Dienstag, 02.05.06 (14-16 Uhr, Arnimallee 3, SR 210)
Sei X eine Fano-Dreifaltigkeit mit hoechstens kanonischen Singularitaeten. Assoziiert zu X findet man eine partielle krepante Aufloesung Y -> X, eine quasi--Fano--Dreifaltigkeit mit hoechstens terminalen Singularitaeten. Da es fuer X nur endlich viele Deformationsfamilien gibt (Borisov), stellt sich die Frage nach effektiven Schranken diskreter Daten, wie etwa der Picardzahl von X bzw. Y. Unter der zusaetzlichen Annahme i_X>1 kann man eine solche angeben.

Janko Boehm (Saarbrücken)
Mirror symmetry and tropical geometry
Dienstag, 02.05.06 (14-16 Uhr, Arnimallee 3, SR 210)

Gavin Brown (University of Kent, Canterbury, UK)
Unprojection constructions in commutative algebra and almost-toric geometry
Dienstag, 23.05.06 (14-16 Uhr, Arnimallee 3, SR 210)
Elimination of a variable is a standard construction of geometry and algebra. Unprojection is the inverse operation applied in very specific situations. I will review simple unprojection constructions and then describe joint work with Miles Reid to construct and classify 'key varieties' for the canonical covers of Mori flips.  These varieties are almost-toric, being 6-dimensional with the action of a 4-dimensional algebraic torus.  This has close relations with the recent work of Altmann,  Hausen and others, although the details in this case are not yet understood. Our methods include beautiful combinatorial constructions involving toric geometry, continued fraction expansions and  'cascades of Pfaffians'.

Arend Bayer (Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn)
Quantenkohomologie und derivierte Kategorie: eine Vermutung von Dubrovin
Dienstag, 30.05.06 (14-16 Uhr, Arnimallee 3, SR 210)

Lorenz Wotzlaw (HU-Berlin)
Dienstag, 13.06.06 (14-16 Uhr, Arnimallee 3, SR 210)

Jan Christophersen (Universität Oslo)
Deformations of a degenerate abelian surface in P^6.
Dienstag, 20.06.06 (14-16 Uhr, Arnimallee 3, SR 210) Abstract:
A report on work in progress. I will apply results of Klaus Altmann and myself on deformations of Stanley Reisner schemes to the minimal triangulation of the torus. The resulting 9-dimensional versal deformation space has a surprisingly rich geometry and a mysterious connection to the Batyrev-Borisov study of Calibi Yau complete intersections in toric varieties.

Kordian Lärz (FU)
Ein Modell der Heterotischen Stringtheorie
Am Dienstag, 4.7., (14-16: Arnim3, SR 210)
Er hat ueber dieses Thema in Pennsylvania bei Tony Pantev einige reading-Kurse belegt, ueber die er hier berichten will. Hier eine kurze Zusammenfassung des Vortrages: Im Jahre 1986 veröffentlichte A. Strominger die Arbeit Superstrings with Torsion, in der er ein Modell für Heterotische Stringtheorie vorschlägt. Im Wesentlichen wird der folgende Spezialfall dieses Modells betrachtet: $X=(M,I,g)$ komplexe MF mit $dim_{\R}M=6$ und (holomorph) trivialem kanonischen Linienbündel, $g$ hermitesche Metrik auf $T^{1,0}$. $(E,h)$ hermitesches $SU(5)$-VB Über $X$, so dass vier weitere Eigenschaften gelten. Die unhandlichste Bedingung ist die sog. anomaly cancellation $dH = tr(R \wedge R) - tr(F \wedge F)$, wobei $R$ die Krümmung von $M$ und $F$ die Krümmung von $E$ bzgl. des Chern-Zshgs sind. $H=d^{c}\omega$ ist die Torsion des Bismut-Zshgs von $(M,I,g)$. Im Anschluss an Stromingers Arbeit wurden viele Strategien für den Fall $H=0$, d.h. $(M,g)$ Kähler-Calabi-Yau entwickelt. Bis April 2006 wurde die physikalisch interessante Existenzfrage im Fall $H \neq 0$ nur sehr unbefriedigend beantwortet. Zu diesem Zeitpunkt veröffentlichte Yau eine korrigierte Lösung, die im Wesentlichen seine Ideen zur Lösung von Monge-Ampere Gleichungen nutzt.

Afsaneh Mehran (University of Michigan)
Nikulin involutions on K3 surfaces
Freitag, 21. Juli 2006, 14:15 Uhr, Arnimallee 3, SR 119

Jan Christophersen (University of Oslo)
Deformation theory, cotangent complexes and Massey products
Freitag, 21. Juli 2006, 15:30 Uhr, Arnimallee 3, SR 119